Logika je věda o správném usuzování.
V tomto předmětu se řeší pouze deduktivní usuzování, nikoliv například induktivní (příklady na přednášce).
Deduktivně platný úsudek je takový, že závěr logicky vyplývá z předpokladů. Užitečnější je ale definice: není možné, aby byly předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý.
Správné usuzování není totéž jako pravdivý závěr. Pro ilustraci budeme často používat takové příklady, v nichž je závěr nepravdivý a předpoklady nereálné (“všechny žáby jsou fialové”) až absurdní (“někteří studenti jsou kameny”). Dále nebudeme v žádném příkladu používat předem dané znalosti - které nebudou přímo dány, nesmíme brát v úvahu (“každý člověk je buď muž, nebo žena”).
Nejdříve se budeme zabývat výrokovou logikou a později přejdeme na expresivnější (a především užitečnější) predikátovou logiku. Existuje ještě další, pokročilejší logiky, ale ty jsou náplní jiných předmětů (PLAJ).
Důležité budou výrokové formule, což je označení pro formální zápis výroků. Podobně jako matematické formule jsou i výrokové dány určitou gramatikou. Dobře utvořená formule může být jednoduchý výrok, nebo složená z jiných dobře utvořených formulí a logických operátorů.
Budeme používat logické operátory unární (negace) a binární (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence). Znáte i další operátory jako XOR, NOR, NAND. Operátor lze jednoduše definovat jeho pravdivostní tabulkou.
Formalizace zápisu je užitečná pro odvození informací ze zapletených výroků vyjádřených slovně. Například výroky politiků bývají často po podrobnější analýze velmi zajímavé.
Formalizované úsudkové schéma dává informaci pouze pro usuzování (úsudek platný / neplatný), konkrétní informace jsou dány nějakou interpretací (předpoklady a závěr pravdivý / nepravdivý). Pro platnost úsudku tedy nezáleží na tom, zda použijeme interpretaci s žábami zelenými, fialovými či politicky angažovanými.
Ohodnocení (neboli valuace, v) jednotlivých výrokových symbolů formule je funkce, která jim přiřazuje hodnotu “pravda” (1), nebo “nepravda” (0). Valuaci si definujeme sami. Pravdivostní funkce (w) dělá obdobnou věc pro dobře utvořené formule, ale na základě valuace.
Valuace se nazývá model právě tehdy, pokud je formule v takové valuaci pravdivá. Formule může mít mnoho modelů, ale také nemusí mít žádný. Je třeba si dávat pozor na terminologii - model je tedy funkce, nikoliv například řádek.
Formule mohou být kontradikce (bez modelu, nikdy nejsou pravdivé), tautologie (všechny valuace jsou modely, vždy jsou pravdivé), nebo splnitelné (ani jedno z předchozích).